Информация о задаче

Задача 55753

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Курляндчик Л.Д.

Точка P расположена внутри квадрата ABCD, причём AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите угол APB.

Подсказка

Поверните треугольник APB на 90^o против часовой стрелки вокруг вершины B.

Решение

Будем считать, что AP = 1, BP = 2, CP = 3. Пусть P₁ — образ точки P при повороте на 90^o против часовой стрелки вокруг вершины B. Тогда PBP₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BP₁P = 45^o, P₁P = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

PP²₁ + P₁C² = 8 + 1 = 9 = 3² = PC².

Значит, треугольник PP₁C — прямоугольный, $\angle$ PP₁C = 90^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ APB = $\displaystyle \angle$ CP₁B = $\displaystyle \angle$ CP₁P + $\displaystyle \angle$ BP₁P = 90^o + 45^o = 135^o.

Ответ

135^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6037