Информация о задаче

Задача 55758

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

Подсказка

Докажите, что при гомотетии относительно точки касания с коэффициентом, равным по модулю отношению радиусов, одна из окружностей переходит в другую.

Решение

Пусть окружности S₁ и S₂ с центрами соответственно O₁ и O₂ и радиусами r и R касаются внешним образом в точке K. Докажем, что при гомотетии с центром K и коэффициентом - ${\frac{R}{r}}$ окружность S₁ переходит в окружность S₂.

Пусть A — произвольная точка окружности S₁, а прямая AK вторично пересекает окружность S₂ в точке B. Поскольку треугольники AO₁K и BO₂K равнобедренные, то

$\displaystyle \angle$ O₁AK = $\displaystyle \angle$ O₁KA = $\displaystyle \angle$ O₂KB = $\displaystyle \angle$ O₂BK.

Поэтому треугольники AO₁K и BO₂K подобны. Следовательно, KB = KA^. ${\frac{KO_{2}}{KO_{1}}}$ = ${\frac{R}{r}}$ ^.KA, а т.к. точки A и B лежат по разные стороны от точки K, то точка B гомотетична точке A относительно точки K с коэффициентом - ${\frac{R}{r}}$ . Ясно также, что любая точка окружности S₂ является образом некоторой точки S₁ при этой гомотетии.

Аналогично рассматривается случай внутреннего касания.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6401