Задача 55761

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию относительно выбранной точки с коэффициентом 2.

Решение

Пусть P — произвольная точка; M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD квадрата ABCD; P₁, P₂, P₃ и P₄ — образы точки P при симметриях относительно точек M, N, K и L соответственно.

Поскольку

PP₁ = 2PM, PP₂ = 2PN, PP₃ = 2PK, PP₄ = 2PL

и при этом точки P₁, P₂, P₃, P₄ расположены на лучах PM, PN, PK, PL соответственно, то четырёхугольник P₁P₂P₃P₄ гомотетичен четырёхугольнику MNKL относительно точки P с коэффициентом 2, а т.к. MNKL — квадрат, то четырёхугольник P₁P₂P₃P₄ — также квадрат.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6404