Задача 55765

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром в точке M и коэффициентом –2.

Решение

При гомотетии относительно точки M с коэффициентом –2 точки A₁, B₁ и C₁ перейдут соответственно в точки A, B и C, а прямые A₁P, B₁P и C₁P – соответственно в прямые l_a, l_b и l_c. Поэтому прямые l_a, l_b, l_c пересекаются в точке Q, гомотетичной точке P. Следовательно, точка M лежит на отрезке PQ и  PM : MQ = 1 : 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6408