Задача 55770

Темы:    [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах AB и BC соответственно такие точки X и Y, для которых AX = XY = YC.

Подсказка

Примените гомотетию с центром в точке A.

Решение

Предположим, что нужные точки X и Y построены. Через произвольную точку Y₁ луча AY проведем прямые, параллельные XY и BC до пересечения со сторонами AB и AC соответственно в точках X₁ и C₁. Тогда четырёхугольник AXYC гомотетичен четырёхугольнику AX₁Y₁C₁ относительно центра A. Отсюда вытекает следующий способ построения.

На лучах AB и CB отложим равные отрезки AX₁ и CZ₁. Построим окружность с центром в точке X₁ и радиусом X₁A. Через точку Z₁ проведем прямую, параллельную AC до пересечения с этой окружностью в точке Y₁. Тогда в четырёхугольнике AX₁Y₁C₁

AX₁ = X₁Y₁ = Y₁C₁.

Пусть прямая AY₁ пересекает сторону BC в точке Y. Строим образ четырёхугольника AX₁Y₁C₁ при гомотетии с центром A, переводящей точку Y₁ в точку Y. Для этого через точку Y проводим прямую, параллельную Y₁X₁. Эта прямая пересекает сторону AB в искомой точке X.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6413