Задача 55774

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Даны две концентрические окружности S₁ и S₂. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.

Подсказка

Примените симметрию относительно произвольной точки меньшей окружности.

Решение

Первый способ.

Предположим, что задача решена. Пусть A, B, C и D — последовательные точки пересечения проведённой прямой с окружностями S₁ и S₂ (A и D лежат на S₁, а B и C — на S₂), и AB = BC = CD. При симметрии относительно точки C точка B переходит в точку D, а окружность S₂ в равную ей окружность, проходящую через точку D.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ S меньшей окружности S₂ относительно её произвольной точки C. Если D — точка пересечения окружностей S и S₁, то прямая CD — искомая.

Второй способ.

При гомотетии с коэффициентом относительно произвольной точки D большей окружности точка B переходит в точку C. Следовательно, задача сводится к построению образа меньшей окружности при гомотетии относительно произвольной точки большей окружности с коэффициентом .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6417
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	3
Название	Симметрия помогает решить задачу. Построения
Тема	Центральная симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	16.018