Задача 55778

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вершины K и N треугольника KMN перемещаются по сторонам соответственно AB и AC угла BAC, а стороны треугольника KMN соответственно параллельны трём данным прямым. Найдите геометрическое место вершин M.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

Пусть KMN и K₁M₁N₁ — два таких треугольника. Их стороны соответственно параллельны. При гомотетии с центром в точке A, переводящей вершину K в вершину K₁, точка N перейдёт в точку N₁, прямая KM — в параллельную ей прямую K₁M₁, а прямая NM — в параллельную ей прямую N₁M₁. Поэтому точка M пересечения прямых KM и NM перейдёт в точку пересечения их образов, т.е. в точку M₁. Следовательно, точка M₁ лежит на луче AM.

Ясно также, что любая точка X луча AM является вершиной некоторого треугольника, удовлетворяющего условию задачи.

Ответ

Луч с началом в точке A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6421