Задача 55783

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂.
Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что указанные перпендикуляры параллельны медианам треугольника ABC.

Решение

  Через центр каждого квадрата проведём прямую, параллельную стороне треугольника, на которой построен этот квадрат. Пусть эти прямые пересекаются в точках A₀, B₀, C₀ (рис. слева). Тогда, например, A₀ – центр описанной окружности треугольника A₀A₁A₂. Поэтому перпендикуляр, опущенный из точки A₀ на A₁A₂, проходит через середину отрезка A₁A₂. Аналогично для остальных вершин треугольника A₀B₀C₀.

           

  Рассмотрим поворот на 90° вокруг точки A, переводящий точку B в A₂ (рис. справа). При этом повороте точка C переходит в некоторую точку K, лежащую на прямой A₁A, а точка A₃ – в точку M – середину отрезка KA₂.
  Поскольку  AM ⊥ AA₃,  а   AM ⊥ A₁A₂ (как средняя линия треугольника A₁KA₂), то   AA₃ ⊥ A₁A₂. Следовательно, серединный перпендикуляр к отрезку A₁A₂ параллелен медиане AA₃ треугольника ABC.
  Итак, серединные перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны медианам треугольника ABC, то есть содержат медианы гомотетичного треугольника A₀B₀C₀. Поэтому они пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6426