Информация о задаче

Задача 56546

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = | AK - CK|/ $\sqrt{2}$ и DK = (AK + CK)/ $\sqrt{2}$ .

Решение

Точки B, D и K лежат на окружности с диаметром AC. Пусть для определенности $\angle$ KCA = $\varphi$ $\leq$ 45^o. Тогда BK = AC sin(45^o - $\varphi$ ) = AC(cos $\varphi$ - sin $\varphi$ )/ $\sqrt{2}$ и DK = AC sin(45^o + $\varphi$ ) = AC(cos $\varphi$ + sin $\varphi$ )/ $\sqrt{2}$ . Ясно, что AC cos $\varphi$ = CK и AC sin $\varphi$ = AK.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.006