Условие
Дан треугольник
ABC. Докажите, что существует
два семейства правильных треугольников, стороны которых
(или их продолжения) проходят через точки
A,
B и
C.
Докажите также, что центры треугольников этих семейств
лежат на двух концентрических окружностях.
Решение
Пусть прямые
FG,
GE и
EF проходят через точки
A,
B
и
C, причем треугольник
EFG равносторонний, т. е.
(
GE,
EF) =
(
EF,
FG) =
(
FG,
GE) = ±60
o. Тогда
(
BE,
EC) =
(
CF,
FA) =
(
AG,
GB) = ±60
o.
Выбрав один из знаков, получим три окружности
SE,
SF и
SG, на
которых должны лежать точки
E,
F и
G. Любая точка
E
окружности
SE однозначно определяет треугольник
EFG.
Пусть
O — центр треугольника
EFG;
P,
R и
Q — точки
пересечения прямых
OE,
OF и
OG с соответствующими
окружностями
SE,
SF и
SG. Докажем, что
P,
Q и
R — центры
правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника
ABC
(для одного семейства внешним образом, для другого внутренним), а
точка
O лежит на описанной окружности треугольника
PQR. Ясно,
что
(
CB,
BP) =
(
CE,
EP) =
(
EF,
EO) =
30
o,
a
(
BP,
CP) =
(
BE,
EC) =
(
GE,
EF) = ±60
o.
Поэтому
(
CB,
CP) =
(
CB,
BP) +
(
BP,
CP) = ±30
o.
Следовательно,
P — центр правильного треугольника со
стороной
AB. Для точек
Q и
R доказательство аналогично.
Треугольник
PQR равносторонний, причем его центр совпадает с точкой
пересечения медиан треугольника
ABC (см. задачу
1.49, б)). Можно
проверить,
что
(
PR,
RQ) =
60
o =
(
OE,
OG) =
(
OP,
OQ), т. е.
точка
O лежит на описанной окружности треугольника
PQR.
Источники и прецеденты использования
