Задача 56578

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

Решение

Пусть O — центр окружности S. Точка B является центром описанной окружности треугольника ACD, поэтому  CDA = ABC/2 = 30^o, а значит,  EOA = 2EDA = 60^o, т. е. треугольник EOA равносторонний. Кроме того,  AEC = AED = AOB = 2AOC, поэтому точка E является центром описанной окружности треугольника AOC. Следовательно, EC = EO.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	4
Название	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	02.036