Условие
По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри,
катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса.
Какую траекторию описывает фиксированная точка
K подвижной окружности?
Решение
Рассмотрим два положения подвижной окружности:
в первый момент, когда точка
K попадает на неподвижную окружность
(точку касания окружностей в этот момент мы обозначим через
K1),
и какой-нибудь другой (второй) момент.
Пусть
O — центр неподвижной
окружности,
O1 и
O2 — положения центра подвижной окружности
в первый и во второй моменты соответственно,
K2 — положение
точки
K во второй момент.
A — точка касания окружностей во
второй момент. Поскольку окружность катится без проскальзывания, длина
дуги
K1A равна длине дуги
K2A. Так как радиус подвижной
окружности в два раза меньше,
K2O2A = 2
K1OA. Точка
O
лежит на подвижной окружности, поэтому
K2OA =
K2O2A/2 =
K1OA, т. е. точки
K2,
K1 и
O лежат на одной
прямой.
Траектория движения — диаметр неподвижной окружности.
Источники и прецеденты использования
