Задача 56580

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B₁ и C₁. Прямые BC₁ и CB₁ пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

Решение

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая, поэтому серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают стороны AB и AC, а не их продолжения. Из этого следует, что точка Y лежит внутри треугольника ABC.
Пусть прямые BC₁ и CB₁ пересекают описанную окружность в точках B₂ и C₂. Точка B₁ лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC₁, поэтому XAC = B₁AC = B₁CA = C₂CA. Аналогично XAB = B₂BA. Следовательно, дуги BC и B₂C₂ равны, а значит, хорды BC₂ и B₂C параллельны. Поэтому BY = YC₂, а значит, BY + CY = CY + YC₂ = CC₂ = AX, поскольку отрезки CC₂ и AX симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	4
Название	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	02.038B