Условие
Через точку
O пересечения биссектрис
треугольника
ABC проведена прямая
MN перпендикулярно
CO,
причем
M и
N лежат на сторонах
AC и
BC соответственно.
Прямые
AO и
BO пересекают описанную окружность
треугольника
ABC в точках
A' и
B'. Докажите, что точка
пересечения прямых
A'N и
B'M лежит на описанной окружности.
Решение
Пусть
PQ — диаметр, перпендикулярный
AB,
причем
Q и
C лежат по одну сторону от
AB;
L — точка
пересечения прямой
QO с описанной окружностью;
M' и
N' — точки пересечения прямых
LB' и
LA' со сторонами
AC и
BC.
Достаточно проверить, что
M' =
M и
N' =
N.
Так как
PA +
AB' +
B'Q = 180
o, то
B'Q =
A, а значит,
B'LQ =
M'AO. Следовательно,
четырехугольник
AM'OL вписанный и
M'OA =
M'LA =
B/2. Поэтому
CMO = (
A +
B)/2, т. е.
M' =
M.
Аналогично
N' =
N.
Источники и прецеденты использования
