Информация о задаче

Задача 56601

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что PC₁² = PA₁^.PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OA'^.OB'^.OC' = OA''^.OB''^.OC''.

Решение

a) $\angle$ PBA₁ = $\angle$ PAC₁ и $\angle$ PBC₁ = $\angle$ PAB₁, поэтому прямоугольные треугольники PBA₁ и PAC₁, PAB₁ и PBC₁ подобны, т. е. PA₁ : PB = PC₁ : PA, PB₁ : PA = PC₁ : PB. Перемножив эти равенства, получим PA₁^.PB₁ = PC₁², а поделив их, получим PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Согласно а) OA'' = $\sqrt{OB'\cdot OC'}$ , OB'' = $\sqrt{OA'\cdot OC'}$ , OC'' = $\sqrt{OA'\cdot OB'}$ . Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.058