Задача 56604

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На высотах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ — проекции точки M на высоты, поэтому они лежат на окружности с диаметром MH. Следовательно,  (A₁B₁, B₁C₁) = (AH, HC) = (BC, AB). Записывая аналогичные равенства для других углов, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.061