Условие
Дан треугольник
ABC. На его стороне
AB
выбирается точка
P и через нее проводятся прямые
PM и
PN,
параллельные
AC и
BC соответственно (точки
M и
N лежат
на сторонах
BC и
AC);
Q — точка пересечения описанных
окружностей треугольников
APN и
BPM. Докажите, что все
прямые
PQ проходят через фиксированную точку.
Решение
Ясно, что
(
AQ,
QP) =
(
AN,
NP) =
(
PM,
MB) =
(
QP,
QB).
Поэтому точка
Q лежит на окружности, из которой отрезок
AB
виден под углом
2
(
AC,
CB), причем прямая
QP делит дугу
AB
этой окружности пополам.
Источники и прецеденты использования
