Условие
На сторонах треугольника
ABC внешним образом
построены треугольники
ABC',
AB'C и
A'BC, причем сумма
углов при вершинах
A',
B' и
C' кратна
180
o. Докажите,
что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в
одной точке.
Решение
Предположим сначала, что описанные окружности
треугольников
A'BC и
AB'C не касаются и
P — их общая точка,
отличная от
C. Тогда
(
PA,
PB) =
(
PA,
PC) +
(
PC,
PB) =
(
B'A,
B'C) +
(
A'C,
A'B) =
(
C'A,
C'B), т. е.
точка
P лежит на описанной окружности треугольника
ABC'.
В случае, когда описанные окружности треугольников
A'BC
и
AB'C касаются, т. е.
P =
C, требуются незначительные изменения:
вместо прямой
PC нужно взять общую касательную.
Источники и прецеденты использования
