Информация о задаче

Задача 56627

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

Решение

а) Пусть X — точка пересечения описанных окружностей треугольников ABC и AB'C'. Тогда $\angle$ (XB', XC) = $\angle$ (XB', XA) + $\angle$ (XA, XC) = $\angle$ (C'B', C'A) + $\angle$ (BA, BC). Так как AC' = AP = AB', то треугольник C'AB' равнобедренный, причем $\angle$ C'AB' = 2 $\angle$ A, поэтому $\angle$ (C'B', C'A) = $\angle$ A - 90^o. Следовательно, $\angle$ (XB', XC) = $\angle$ A - 90^o + $\angle$ B = 90^o - $\angle$ C = $\angle$ (A'B', A'C), т. е. точка X лежит на описанной окружности треугольника A'B'C. Для описанной окружности треугольника A'BC' доказательство аналогично.
б) Пусть X — точка пересечения описанных окружностей треугольников A'B'C' и A'BC. Докажем, что она лежит на описанной окружности треугольника ABC'. Ясно, что $\angle$ (XB, XC') = $\angle$ (XB, XA') + $\angle$ (XA', XC') = $\angle$ (CB, CA') + $\angle$ (B'A', B'C'). Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины отрезков PA', PB' и PC'. Тогда $\angle$ (CB, CA') = $\angle$ (CP, CA₁) = $\angle$ (B₁P, B₁A₁), $\angle$ (B'A', B'C') = $\angle$ (B₁A₁, B₁C₁) и $\angle$ (AB, AC') = $\angle$ (AP, AC₁) = $\angle$ (B₁P, B₁C₁). Следовательно, $\angle$ (XB, XC') = $\angle$ (AB, AC').
Аналогично доказывается, что точка X лежит на описанной окружности треугольника AB'C.
в) Так как QA' — общая хорда окружностей с центрами O и I, то QA' $\perp$ OI. Аналогично QB' $\perp$ OJ и QC $\perp$ IJ. Поэтому стороны углов OJI и B'QC, а также углов OIJ и A'QC взаимно перпендикулярны, а значит, sin OJI = sin B'QC и sin OIJ = sin A'QC. Следовательно, OI : OJ = sin OJI : sin OIJ = sin B'QC : A'QC. Ясно также, что

$\displaystyle {\frac{QI}{QJ}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin QJI}{\sin QIJ}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin(QJC/2)}{\sin(QIC/2)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin QB'C}{\sin QA'C}}$ .

Учитывая, что sin B'QC : sin QB'C = B'C : QC и sin A'QC : sin QA'C = A'C : QC, получаем

$\displaystyle {\frac{OI}{OJ}}$ : $\displaystyle {\frac{QI}{QJ}}$ = $\displaystyle {\frac{B'C}{QC}}$ : $\displaystyle {\frac{A'C}{QC}}$ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	9
Название	Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема	Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер	02.082