Задача 56637

Тема:    [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂. Докажите, что прямые  A₁B, A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Если угол C прямой, то решение задачи очевидно: C является точкой пересечения прямых  A₁B, A₂B₂, AB₁. Если же  C90^o, то описанные окружности квадратов ACA₁A₂ и BCB₁B₂ имеют кроме C еще одну общую точку — точку C₁. Тогда  (AC₁, A₂C₁) = (A₂C₁, A₁C₁) = (A₁C₁, C₁C) = (C₁C, C₁B₁) = (C₁B₁, C₁B₂) = (C₁B₂, C₁B) = 45^o (или же  -45^o; важно лишь то, что все углы имеют один и тот же знак). Поэтому  (AC₁, C₁B₁) = 4 ^. 45^o = 180^o, т. е. прямая AB₁ проходит через точку C₁. Аналогично A₂B₂ и A₁B проходят через точку C₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Вписанный угол (прочее)
задача
Номер	02.092