Условие
Окружности
S1 и
S2 пересекаются в точках
A и
B,
причем касательные к
S1 в этих точках являются радиусами
S2. На
внутренней дуге
S1 взята точка
C и соединена с точками
A и
B
прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с
S2
являются концами одного диаметра.
Решение
Пусть
P и
O — центры окружностей
S1 и
S2;
=
APC,
=
BPC; прямые
AC и
BC пересекают
S2
в точках
K и
L. Так как
OAP =
OBP = 90
o,
то
AOB = 180
o -
-
.
Далее,
LOB = 180
o - 2
LBO = 2
CBP = 180
o -
.
Аналогично
KOA = 180
o -
.
Поэтому
LOK =
LOB +
KOA -
AOB = 180
o,
т. е.
KL — диаметр.
Источники и прецеденты использования
