Условие
Из центра
O окружности опущен перпендикуляр
OA
на прямую
l. На прямой
l взяты точки
B и
C так, что
AB =
AC.
Через точки
B и
C проведены две секущие, первая из которых
пересекает окружность в точках
P и
Q, а вторая — в точках
M
и
N. Прямые
PM и
QN пересекают прямую
l в точках
R и
S.
Докажите, что
AR =
AS.
Решение
Рассмотрим точки
M',
P',
Q' и
R', симметричные
точкам
M,
P,
Q и
R относительно прямой
OA. Так как точка
C
симметрична точке
B относительно
OA, прямая
P'Q' проходит через
точку
C. Легко проверяются следующие равенства:
(
CS,
NS) =
(
Q'Q,
NQ) =
(
Q'P',
NP') =
(
CP',
NP')
и
(
CR',
P'R') =
(
MM',
P'M') =
(
MN,
P'N) =
(
CN,
P'N).
Из этих равенств получаем, что точки
C,
N,
P',
S и
R'
лежат на одной окружности. Но точки
S,
R' и
C лежат на одной прямой,
поэтому
S =
R'.
Источники и прецеденты использования
