Задача 56656

Тема:    [ Окружности (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 7

Условие

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

Решение

Опустим из центра окружности радиусы к точкам касания с катетами (или с их продолжениями). Точки касания вместе с центром окружности и вершиной при прямом угле треугольника образуют квадрат (четырёхугольник с тремя углами по $90^\circ$ и равными соседними сторонами-радиусами) со стороной, равной радиусу окружности.

а) Катеты делятся точками касания на два отрезка длин $r$, $a-r$ и $r$, $b-r$, значит, в силу равенства отрезков касательных, гипотенуза $c = (a-r) + (b-r)$, откуда $r = \frac{a+b-c}{2}$.

б) Отрезки от вершин острых углов треугольника до точек касания окружности с продолжением соответствующего катета равны $r-a$ и $r-b$. Значит, в силу равенства отрезков касательных, гипотенуза $c = (r-a) + (r-b)$, откуда $r = \frac{a+b+c}{2}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	0
Название	Вводные задачи
Тема	Окружности (прочее)
задача
Номер	03.000.4