Условие
Вписанная окружность треугольника
ABC касается
стороны
BC в точке
K, а вневписанная — в точке
L. Докажите,
что
CK =
BL = (
a +
b -
c)/2, где
a,
b,
c — длины сторон треугольника.
Решение
Пусть
M и
N — точки касания вписанной окружности со
сторонами
AB и
BC. Тогда
BK +
AN =
BM +
AM =
AB, поэтому
CK +
CN =
a +
b -
c.
Пусть
P и
Q — точки касания вневписанной окружности с
продолжениями сторон
AB и
BC. Тогда
AP =
AB +
BP =
AB +
BL
и
AQ =
AC +
CQ =
AC +
CL. Поэтому
AP +
AQ =
a +
b +
c. Следовательно,
BL =
BP =
AP -
AB = (
a +
b -
c)/2.
Источники и прецеденты использования
