Информация о задаче

Задача 56688

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что AB^.CD = BC^.AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Решение

а) Так как $\triangle$ KAB $\sim$ $\triangle$ KBC, то AB : BC = KB : KC. Аналогично AD : DC = KD : KC. Учитывая, что KB = KD, получаем требуемое.
б) Задача сводится к предыдущей, так как

$\displaystyle {\frac{PQ}{BQ}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin PBQ}{\sin BPQ}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABD}{\sin KBA}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABD}{\sin ADB}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ , $\displaystyle {\frac{QR}{BQ}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{CB}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	5
Название	Две касательные, проведенные из одной точки
Тема	Две касательные, проведенные из одной точки
задача
Номер	03.031