Условие
Даны окружность
S и прямая
l, не имеющие общих
точек. Из точки
P, движущейся по прямой
l, проводятся
касательные
PA и
PB к окружности
S. Докажите, что все
хорды
AB имеют общую точку.
Решение
Опустим из центра
O окружности
S перпендикуляр
OM
на прямую
l. Докажем, что точка
X, в которой пересекаются
AB
и
OM, остается неподвижной. Точки
A,
B и
M лежат на окружности
с диаметром
PO. Поэтому
AMO =
ABO =
BAO, а значит,
AMO 
XAO, так как угол при вершине
O
у этих треугольников общий. Следовательно,
AO :
MO =
XO :
AO, т. е.
OX =
OA2/
MO — постоянная величина.
Источники и прецеденты использования
