Информация о задаче

Задача 56690

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

Решение

Так как $\angle$ OBP = $\angle$ OAB = $\angle$ OCB, то $\triangle$ OBP $\sim$ $\triangle$ OCB, а значит, OB² = OP^.OC. Проведем из точки C касательную CD к окружности S₁. Тогда OD² = OB² = OP^.OC. Следовательно, $\triangle$ ODC $\sim$ $\triangle$ OPD и $\angle$ OPD = $\angle$ ODC = 90^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	5
Название	Две касательные, проведенные из одной точки
Тема	Две касательные, проведенные из одной точки
задача
Номер	03.033