Задача 56735

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.

Решение

В эллиптическом пучке любая окружность пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках; радиус такой окружности больше нуля.
В параболическом пучке любая окружность касается радикальной оси в фиксированной точке; именно эта точка является предельной.
Рассмотрим теперь гиперболический пучок. Пусть A — точка пересечения радикальной оси и прямой m, на которой лежат центры окружностей пучка. Пусть, далее, k — степень точки A относительно всех окружностей пучка. Для гиперболического пучка k > 0. Точка O прямой m является центром окружности нулевого радиуса, если AO² = k. Таких точек две.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	11
Название	Пучки окружностей
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.072B