Условие
Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.
Решение
Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = \varphi.$ Тогда
$$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = $$
$$= \frac12 AO \cdot OB \sin \varphi + \frac12 BO \cdot OC \sin (180^\circ -\varphi) + \frac12 CO \cdot OD \sin \varphi + \frac12 DO \cdot OA \sin (180^\circ -\varphi) = $$
$$= \frac12 \sin \varphi \cdot (AO \cdot OB + BO \cdot OC + CO \cdot OD + DO \cdot OA) = $$
$$= \frac12 \sin \varphi \cdot \big( (AO+CO) \cdot OB + (CO+AO) \cdot OD\big) = \frac12 \sin \varphi \cdot (AO+CO) \cdot (OB+OD) = \frac12 AC \cdot BD \cdot \sin \varphi.$$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Площадь |
|
Тема |
Площадь |
|
параграф |
|
Номер |
0 |
|
Название |
Вводные задачи |
|
Тема |
Площадь (прочее) |
|
задача |
|
Номер |
04.000.1 |
