Задача 56762

Тема:    [ Площадь треугольника. ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В треугольник  T_a = A₁A₂A₃ вписан треугольник  T_b = B₁B₂B₃, а в треугольник T_b вписан треугольник  T_c = C₁C₂C₃, причем стороны треугольников T_a и T_c параллельны. Выразите площадь треугольника T_b через площади треугольников T_a и T_c.

Решение

Пусть площади треугольников T_a, T_b и T_c равны a, b и c. Треугольники T_a и T_c гомотетичны, поэтому прямые, соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке O. Коэффициент k подобия этих треугольников равен  . Ясно, что  S_A1B3O : S_C1B3O = A₁O : C₁O = k. Записывая аналогичные равенства и складывая их, получаем a : b = k, а значит,  b = .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	2
Название	Вычисление площадей
Тема	Площадь треугольника.
задача
Номер	04.012