Задача 56775

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

Решение

Пусть данные прямые l₁ и l₂ делят квадрат на четыре части, площади которых равны  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем для первой прямой площади частей, на которые она делит квадрат, равны S₁ + S₂ и S₃ + S₄ а для второй они равны S₂ + S₃ и S₁ + S₄. Так как по условию  S₁ = S₂ = S₃, то  S₁ + S₂ = S₂ + S₃. Это означает, что образ прямой l₁ при повороте относительно центра квадрата на  +90^o или  -90^o не просто параллелен прямой l₂, а совпадает с ней.
Остается доказать, что прямая l₁ (а значит, и прямая l₂) проходит через центр квадрата. Предположим, что это не верно. Рассмотрим образы прямых l₁ и l₂ при поворотах на  ±90^o и обозначим площади частей, на которые они делят квадрат, так, как показано на рис. (на этом рисунке изображены оба различных варианта расположения прямых). Прямые l₁ и l₂ делят квадрат на четыре части, площади которых равны  a, a + b, a + 2b + c и a + b, причем числа a, b и c ненулевые. Ясно, что три из указанных четырех чисел не могут быть равны. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.025