Задача 56801

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Дан выпуклый многоугольник  A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы  A₁B₁C₁D₁,..., A_nB_nC_nD_n, то прямые  A₁C₁,..., A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁ ^. A₂B₂ ^. ... ^. A_nB_n = A₁D₁ ^. A₂D₂ ^. ... ^. A_nD_n.

Решение

Так как  A_iB_iC_iD_i — параллелограмм и точка O лежит на продолжении его диагонали A_iC_i, то  S_AiBiO = S_AiDiO, а значит,  A_iB_i : A_iD_i = h_i : h_{i - 1}, где h_i — расстояние от точки O до стороны  A_iA_{i + 1}. Остается перемножить эти равенства для  i = 1,..., n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.050