Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R,  — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD равна  2R²sin A sin B sin.

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

Решение

Через точку N пересечения прямых BS и CM проведем прямые Q₁S₁ и P₁R₁, параллельные прямым QS и PR (точки  P₁, Q₁, R₁ и S₁ лежат на сторонах AB, BC, CD и DA). Пусть F и G — точки пересечения прямых PR и Q₁S₁, P₁R₁ и QS. Так как точка M лежит на диагонали NC параллелограмма NQ₁CR₁, то S_FQ1QM = S_MRR1G (задача 4.19), а значит, S_NQ1QG = S_NFRR1. Точка N лежит на диагонали BS параллелограмма ABQS, поэтому S_AP1NS1 = S_NQ1QG = S_NFRR1. Следовательно, точка N лежит на диагонали PD параллелограмма APRD.=-1

Источники и прецеденты использования