Задача 56814

Тема:    [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

Решение

а) Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них (рис.). Пусть точка B' симметрична точке B относительно прямой PQ. Докажем, что  APB = OB'P. Треугольник APB равнобедренный, причем угол при его основании равен  15^o, поэтому треугольник BPQ равносторонний. Следовательно, OPB' = OPQ - B'PQ = 75^o - 60^o = 15^o и POB' = POQ/2 = 15^o. Кроме того, AB = OP. Аналогично доказывается, что  BQC = OB'Q. Следовательно, площадь заштрихованной на рис. части равна площади треугольника OPQ.
б) Пусть площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 12x. Согласно задаче а) площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна  12x + 4x = 16x; с другой стороны, площадь этого квадрата равна 4, поэтому x = 1/4 и 12x = 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	9
Название	Перегруппировка площадей
Тема	Перегруппировка площадей
задача
Номер	04.062