Информация о задаче

Задача 56862

Тема:

[

Правильный (равносторонний) треугольник

]

Сложность: 3
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках A₁, B₁, C₁. Докажите, что если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то треугольник ABC правильный.

Решение

Если $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника ABC, то углы треугольника A₁B₁C₁ равны ( $\beta$ + $\gamma$ )/2,( $\gamma$ + $\alpha$ )/2 и ( $\alpha$ + $\beta$ )/2. Пусть для определенности $\alpha$ $\geq$ $\beta$ $\geq$ $\gamma$ . Тогда ( $\alpha$ + $\beta$ )/2 $\geq$ ( $\alpha$ + $\gamma$ )/2 $\geq$ ( $\beta$ + $\gamma$ )/2. Следовательно, $\alpha$ = ( $\alpha$ + $\beta$ )/2 и $\gamma$ = ( $\beta$ + $\gamma$ )/2, т. е. $\alpha$ = $\beta$ и $\beta$ = $\gamma$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	3
Название	Правильный треугольник
Тема	Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер	05.028