Задача 56890

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Решение

  а) Докажем сначала, что точка B' лежит на описанной окружности треугольника AHC, где H – ортоцентр треугольника ABC.
∠(AB', B'C) = ∠(AA₁, CC₁) = ∠(AA₁, BC) + ∠(BC, AB) + ∠(AB, CC₁) = ∠(BC, AB).  Но, как следует из решения задачи 56839,  ∠(BC, AB) = ∠(AH, HC),  поэтому точки A, B', H и C лежат на одной окружности, причём эта окружность симметрична описанной окружности треугольника ABC относительно прямой AC. Следовательно, обе эти окружности имеют радиус R, а значит,  B'H = 2R sin∠B'AH = 2R cos α.  Аналогично,   A'H = 2R cos α = C'H.

  б) Треугольники A'B'C' и ABC подобны, так как после поворота треугольника A'B'C' на угол α его стороны будут параллельны сторонам треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.054