Задача 56894

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

Решение

Точка A₁ лежит на биссектрисе угла A, поэтому точка A лежит на продолжении биссектрисы угла B₂A₁C₂. Кроме того,  ∠B₂AC₂ = α = ½ (180° – ∠B₂A₁C₂).  Поэтому A – центр вневписанной окружности треугольника B₂A₁C₂ (см. задачу 56832). Пусть D – точка пересечения прямых AB и CB₂. Тогда
∠AB₂C₂ = ∠AB₂D = 180° – ∠B₂AD – ∠ADB₂ = 180° – γ – (60° + α) = 60° + β.  А так как  ∠AB₂C = 180° – (α + β) – (β + γ) = 120° – β,  то
∠CB₂C = ∠AB₂C – ∠AB₂C₂ = 60° – 2β.  Аналогично  ∠AB₂A₂ = 60° – 2β.  Поэтому  ∠A₂B₂C₂ = ∠AB₂C – ∠AB₂A₂ – ∠CB₂C₂ = 3β.  Аналогично
∠B₂A₂C₂ = 3α  и  ∠A₂C₂B₂ = 3γ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.057