Задача 56907

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Дезарга.

Условие

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

Решение

Первое решение:

Пусть  A₂, B₂, C₂ — точки пересечения прямых BC и B₁C₁, AC и A₁C₁, AB и A₁B₁. Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и точкам на их сторонах: OAB и  (A₁, B₁, C₂), OBC и  (B₁, C₁, A₂), OAC и  (A₁, C₁, B₂). Тогда

^{. .} = 1,     ^{. .} = 1,     ^{. .} = 1.

Перемножая эти равенства, получаем

^{. .} = 1.

Из теоремы Менелая следует, что точки  A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.
Второе решение:

Сделаем проективное преобразование с исключительной прямой AB. Образы точек при этом преобразовании будем обозначать буквами со штрихом. Рассмотрим гомотетию с центром в точке O' (или параллельный перенос, если O' — бесконечно удаленная точка), переводящую точку C₁' в C₂'. При этой гомотетии отрезок B₁'C₁' перейдет в отрезок B₂'C₂', поскольку B₁'C₁'| B₂'C₂'. Аналогично C₁'A₁' перейдет в C₂'A₂'. Поэтому соответственные стороны треугольников A₁'B₁'C₁' и  A₂'B₂'C₂' параллельны, т. е. все три точки A', B', C' лежат на бесконечно удаленной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.064
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Переведем данную прямую на бесконечность
Тема	Переведем данную прямую на бесконечность
задача
Номер	30.026