Задача 56931

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

Согласно задаче 3.42, а) отрезок A₁A₂ является биссектрисой треугольника A₁BC. Поэтому

==.

Из того, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, следует, что

^{. .} =1.

Поэтому

^{. .} =1,

а значит, прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.082.2