Информация о задаче

Задача 56942

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника ABC перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу 5.106).

Решение

Пусть P₁ и P₂ — диаметрально противоположные точки описанной окружности треугольника ABC; A_i и B_i — основания перпендикуляров, опущенных из точки P_i на прямые BC и AC; M и N — середины сторон AC и BC; X — точка пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂. Согласно задаче 5.92 A₁B₁ $\perp$ A₂B₂. Остается проверить, что $\angle$ (MX, XN) = $\angle$ (BC, AC). Так как AB₂ = B₁C, то XM — медиана прямоугольного треугольника B₁XB₂. Поэтому $\angle$ (XM, XB₂) = $\angle$ (XB₂, B₂M). Аналогично $\angle$ (XA₁, XN) = $\angle$ (A₁N, XA₁). Следовательно, $\angle$ (MX, XN) = $\angle$ (XM, XB₂) + $\angle$ (XB₂, XA₁) + $\angle$ (XA₁, XN) = $\angle$ (XB₂, B₂M) + $\angle$ (A₁N, XA₁) + 90^o. А так как $\angle$ (XB₂, B₂M) + $\angle$ (AC, CB) + $\angle$ (NA₁, A₁X) + 90^o = 0^o, то $\angle$ (MN, XN) + $\angle$ (AC, CB) = 0^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.093