Задача 56948

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

Решение

а) Пусть B₁, C₁ и D₁ — проекции точки P на прямые AB, AC и AD. Точки B₁, C₁ и D₁ лежат на окружности с диаметром AP. Прямые  B₁C₁, C₁D₁ и D₁B₁ являются прямыми Симсона точки P относительно треугольников ABC, ACD и ADB соответственно. Поэтому проекции точки P на прямые Симсона этих треугольников лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника B₁C₁D₁. Аналогично доказывается, что на одной прямой лежит любая тройка рассматриваемых точек.
б) Пусть P — точка описанной окружности n-угольника A₁...A_n; B₂, B₃,..., B_n — проекции точки P на прямые  A₁A₂,..., A₁A_n. Точки  B₂,..., B_n лежат на окружности с диаметром A₁P. Докажем по индукции, что прямая Симсона точки P относительно n-угольника  A₁...A_n совпадает с прямой Симсона точки P относительно (n - 1)-угольника  B₂...B_n (для n = 4 это было доказано в задаче а). По предложению индукции прямая Симсона (n - 1)-угольника  A₁A₃...A_n совпадает с прямой Симсона (n - 2)-угольника  B₃...B_n. Поэтому проекции точки P на прямые Симсона (n - 1)-угольников, вершины которых получаются последовательным исключением точек  A₂,..., A_n из набора  A₁,..., A_n, лежат на прямой Симсона (n - 1)-угольника  B₂...B_n. А проекция точки P на прямую Симсона (n - 1)-угольника  A₂...A_n лежит на той же прямой потому, что наши рассуждения показывают, что любые n - 1 из рассматриваемых n точек проекций лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.098