Информация о задаче

Задача 56951

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим $\triangle$ A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$ A₂B₂C₂, а затем $\triangle$ A₃B₃C₃. Докажите, что $\triangle$ A₃B₃C₃ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Решение

Ясно, что $\angle$ C₁AP = $\angle$ C₁B₁P = $\angle$ A₂B₁P = $\angle$ A₂C₂P = $\angle$ B₃C₂P = $\angle$ B₃A₃P (первое, третье и пятое равенства получаются из вписанности соответствующих четырехугольников; остальные равенства очевидны). Аналогично $\angle$ B₁AP = $\angle$ C₃A₃P. Поэтому $\angle$ B₃A₃C₃ = $\angle$ B₃A₃P + $\angle$ C₃A₃P = $\angle$ C₁AP + $\angle$ B₁AP = $\angle$ BAC. Аналогично получаются равенства остальных углов треугольников ABC и A₃B₃C₃.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	10
Название	Подерный треугольник
Тема	Подерный (педальный) треугольник
задача
Номер	05.101