Задача 56955

Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

Решение

Пусть перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в точке P. Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам треугольника A₁B₁C₁. В результате получим треугольник A'B'C'. Пусть P' — точка, изогонально сопряжённая точке P относительно треугольника A'B'C'. Согласно задаче 5.104 в) прямые, соединяющие вершины треугольника A'B'C' с точкой P', перпендикулярны сторонам треугольника ABC. Треугольник A₁B₁C₁ гомотетичен треугольнику A'B'C'; пусть P₁ — образ точки P' при соответствующей гомотетии. Тогда прямые, соединяющие вершины треугольника A₁B₁C₁ с точкой P₁, перпендикулярны сторонам треугольника ABC, т.е. P₁ — искомая точка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	10
Название	Подерный треугольник
Тема	Подерный (педальный) треугольник
задача
Номер	05.115B