Информация о задаче

Задача 56978

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC). Докажите, что BM^.BN/(CM^.CN) = c²/b². В частности, если AS — симедиана, то BS/CS = c²/b².

Решение

По теореме синусов AB/BM = sin AMB/sin BAM и AB/BN = sin ANB/sin BAN. Значит,

$\displaystyle {\frac{AB^2}{BM\cdot BN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AMB\sin ANB}{\sin BAM\sin BAN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AMC\sin ANC}{\sin CAN\sin CAM}}$ = $\displaystyle {\frac{AC^2}{CM\cdot CN}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.123