Задача 56998

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P, CH – высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.

Решение

Пусть  ∠A = α,  I, J – центры указанных вписанных окружностей, а вписанная окружность треугольника ACH касается гипотенузы AC этого треугольника в точке Q. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC с коэффициентом  cos α,  поэтому  AQ = AP cos α.  Следовательно, PQ – перпендикуляр к AC, то есть проходит через точку J.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	14
Название	Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер	05.139