Задача 57008

Тема:    [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 7,8,9

Условие

а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого n-угольника равна  (n - 2) ^. 180^o.
б) Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно n - 2.

Решение

а) Диагонали выпуклого многоугольника лежат внутри него, поэтому, отметив одну из вершин многоугольника и соединив её со всеми остальными, получим разбиение многоугольника на треугольники. Всего мы провели $n-3$ диагонали (по одной во все точки, кроме отмеченной и её соседей), значит, получили $n-2$ треугольника. Остаётся заметить, что сумма углов многоугольника складывается в точности из всех углов полученных треугольников, а их сумма равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

б) Поскольку многоугольник разбит на треугольники, его сумма углов равна сумме углов треугольников независимо от способа разбиения. Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$, значит, всего их $(n-2) \cdot 180^\circ : 180^\circ = n-2$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	0
Название	Вводные задачи
Тема	Многоугольники (прочее)
задача
Номер	06.000.4