Задача 57032

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

Решение

Пусть a, b, c и d — биссектрисы углов при вершинах A, B, C и D. Нужно проверить, что  (a, b) + (c, d )= 0^o. Ясно, что  (a, b) = (a, AB) + (AB, b) и  (c, d )= (c, CD) + (CD, d ). Так как четырехугольник ABCD выпуклый и (a, AB) = (AD, AB)/2, (AB, b) = (AB, BC)/2, (c, CD) = (CB, CD)/2, (CD, d )= (CD, DA)/2, то (a, b) + (c, d )= ((AD, AB) + (AB, BC) + (CB, CD) + (CD, DA))/2,(CD, d )= (CD, DA)/2 = 360^o/2 = 0^o. (см. к Основные сведенияк гл. 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.021