Условие
Середины
M и
N диагоналей
AC и
BD выпуклого
четырехугольника
ABCD не совпадают. Прямая
MN пересекает
стороны
AB и
CD в точках
M1 и
N1. Докажите, что
если
MM1 =
NN1, то
AD|
BC.
Решение
Предположим, что прямые
AD и
BC не параллельны.
Пусть
M2,
K,
N2 — середины сторон
AB,
BC,
CD соответственно.
Если
MN|
BC, то
BC|
AD, так как
AM =
MC и
BN =
ND. Поэтому
будем считать, что прямые
MN и
BC не параллельны, т. е.
M1
M2
и
N1N2. Ясно, что
=
/2 =
и
=
. Поэтому
M1M2|
N1N2.
Следовательно,
KM|
AB|
CD|
KN, т. е.
M =
N. Получено
противоречие.
Источники и прецеденты использования
