Условие
Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите,
что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.
Решение
Достаточно проверить, что ортоцентры любых трех из
данных четырех треугольников лежат на одной прямой. Пусть
некоторая прямая пересекает прямые
B1C1,
C1A1 и
A1B1 в
точках
A,
B и
C соответственно;
A2,
B2 и
C2 — ортоцентры
треугольников
A1BC,
AB1C и
ABC1. Прямые
AB2 и
A2B
перпендикулярны прямой
A1B1, поэтому они параллельны.
Аналогично
BC2|
B2C и
CA2|
C2A. Точки
A,
B и
C лежат на
одной прямой, поэтому точки
A2,
B2 и
C2 тоже лежат на одной
прямой (см. задачу
1.12, б)).
Источники и прецеденты использования
