|
|
 |
Условие
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
Решение
а) Пусть O – центр описанной окружности. Так как ∠AkOAk+2 = 360° – 2∠AkAk+1Ak+2 = φ – постоянная величина, то при повороте с центром O на угол φ точка Ak переходит в Ak+2. Для нечётного n из этого следует, что все стороны многоугольника A1...An равны.
б) Пусть a – длина стороны данного многоугольника. Если одна из его сторон делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длины x и a – x, то соседние с ней стороны тоже делятся на отрезки длины x и a – x (смежные отрезки соседних сторон равны) и т. д. Для нечётного n из этого следует, что все стороны A1...An делятся точками касания с вписанной окружностью пополам, а значит, все его углы равны.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Правильные многоугольники |
| Тема | Правильные многоугольники |
| задача | |
| Номер | 06.053 |
